A. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh khá giỏi và dạy tự chọn cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày. Đây là một trong những mảng kiến thức khó của toán học phổ thông cơ sở mà các em thường gặp một số ít trong sách giáo khoa. Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng này.
B. CƠ SỞ KHOA HỌC:
- Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:
;
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”.
+ Bất đẳng thức:
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
+
; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab
0.
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Nếu
thì min y = a khi f(x) = 0.
Nếu
thì max y = a khi f(x) = 0.
+ Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách 2 ví dụ 1 dạng 2).







C. NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1: Tìm GTNN của các biểu thức:


B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)


Giải:
a)


Min A = 10 khi
.
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36
-36

Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c)

= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2
2

Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN của các biểu thức:
A = 5 – 8x – x2
B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21
21

Max A = 21 khi x = -4.
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7
7

Max B = 7 khi x = 1,
.
Bài toán 3: Tìm GTNN của:





Giải:
a)

Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1)(4 – x)
0 hay



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 2)(3 – x)
0 hay

Vậy Min M = 3 + 1 = 4 khi
.
b)

Đặt
thì t
0
Do đó N = t2 – 3t + 2 =

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Do đó
khi

Vậy min
hay
.
Bài toán 4: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2




Ngoài ra: x + y = 1
x2 + y2 + 2xy = 1
2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó
và

Ta có:
và

Do đó
và dấu “=” xảy ra

Vậy GTNN của

Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 –